一道高一数学题,急!设an（下标）=n^2+50,n=1,2,…,对每个n,记an（下标）与an+1（下标）的最大公约数为dn（下标）,试求dn（下标）的最大值

Question

一道高一数学题,【急】!
设a n（下标）=n^2+50,n=1,2,…,对每个n,记a n（下标）与a n+1（下标）的最大公约数为d n（下标）,试求d n（下标）的最大值

Answer 1

用(a,b)表示正整数a,b的最大公约数.由辗转相除法有
(an,a(n+1))=(n^2+50,(n+1)^2+50)=(n^2+50,(n+1)^2+50-n^2-50)
=(n^2+50,2n+1),注意到2n+1为奇数,所以(n^2+50,2n+1)=(2n^2+100,2n+1)
=(2n^2+100-n(2n+1),2n+1)=(100-n,2n+1)=(200-2n,2n+1)=(200-2n+2n+1,2n+1)
=(201,2n+1)<=201,所以dn的最大值是201,当且仅当2n+1能被201整除时取到.