求解答(要详解)如图,已知点A(m,0)C(3,n)在直线y=-x-1上,抛物线y=ax2+bx-4经过A、C两点.(1)求m和n的值及抛物线的解析式;(2)动点P在线段AC上,过点P作x轴的垂线与抛物线相交于点E.①求线段PE长的最大值;

Question

求解答(要详解)
如图,已知点A(m,0)C(3,n)在直线y=-x-1上,抛物线y=ax2+bx-4经过A、C两点.
(1)求m和n的值及抛物线的解析式;
(2)动点P在线段AC上,过点P作x轴的垂线与抛物线相交于点E.
①求线段PE长的最大值;
②当线段PE的长度取得最大值时,在抛物线上是否存在点Q,使得△PCQ是以PC为直角边的直角三角形?若存在,请求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由.

Answer 1

（1）将点A(-1,0)、C(3,-4)代入抛物线方程得到两个关于系数a、b的方程：a-b-4=0和9a+3b-4=-4；
连解得：a=1,b=-3；抛物线解析式
y=x²-3x-4；
（2）将两曲线解析式相减得
PE=(-x-1)-(x²-3x-4)=-x²+2x+3……x∈[-1,3]；
PE=-(x-1)²+4,最大PE=4；
（3）PE取最大值时,对应
x=1,代入直线方程得到P点纵坐标y=-2；
另由直线与抛物线方程得交点C坐标(3,-4)；

当通过点P(1,-2)且与直线y=-x-1垂直的直线L与抛物线相交时,交点Q与P、C构成直角三角形；
直线L的斜率
k=1,故其方程为y+2=x-1,代入抛物线求(x-3)=x²-3x-4；
得 x1=2-√5,x2=2+√5；由L相应求得
y1=-1-√5,y2=√5-1；
Q点坐标：(2-√5,-1-√5),(2+√5,√5-1)；