已知数列{an}各项均为正数，其前n项和为Sn，且a1=1，anan+1=2Sn．（n∈N*）（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{n•2an}的前n项和Tn．

Question

已知数列{a_n}各项均为正数，其前n项和为S_n，且a₁=1，a_na_n+1=2S_n．（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{n•2an}的前n项和T_n．

Answer 1

（1）∵数列{a_n}各项均为正数，其前n项和为S_n，且a₁=1，a_na_n+1=2S_n．（n∈N^*），
∴当n=1时，a₁a₂=2a₁，解得a₂=2，
当n≥2时，a_n-1a_n=2S_n-1，a_n（a_n+1-a_n-1）=2a_n，
∵a_n>0，∴a_n+1-a_n-1=2，
∴a₁，a₃，…，a_2n-1，…，是以1为首项，2为公差的等差数列，a_2n-1=2n-1，
a₂，a₄，…，a_2n，…，是以2为首项，2为公差的等差数，a_2n=2n，
∴a_n=n，n∈N^*．
（2）∵a_n=n，n•2an=n•2ⁿ，
∴数列{n•2an}的前n项和：
T_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，①
2T_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，②
②-①，得：
T_n=n•2ⁿ⁺¹-（2+2²+2³+…+2ⁿ）
=n•2ⁿ⁺¹-(2(1-2n))/(1-2)
=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．