在各项均为负数的数列｛an｝中,已知点（an,an＋1）﹙n∈N*﹚均在函数y＝2x/3的图像上,且a2·a5＝8/27﹙1﹚求证：﹛an﹜是等比数列,并求其通项﹙2﹚若数列{bn}的前n项和为sn且bn=an+n求Sn

Question

在各项均为负数的数列｛an｝中,已知点（an,an＋1）﹙n∈N*﹚均在函数y＝2x/3的图像上,且a2·a5＝8/27
﹙1﹚求证：﹛an﹜是等比数列,并求其通项
﹙2﹚若数列{bn}的前 n项和为sn 且bn=an+n 求 Sn

Answer 1

(1) 因为（an,an＋1）均在函数y＝2x/3的图像
所以an+1=2an/3
an+1/an=2/3
所以｛an｝为等比
q为2/3
因为a2·a5＝8/27
所以a1*q*a1*q^4=8/27
带入q
则：a1=3/2
所以an=a1*q^(n-1)
an=3/2 * (2/3)^(n-1) n属于正整数
（2）分组求和 等比之和+等差之和
bn=an+n
=3/2 * (2/3)^(n-1)+n
Sn=等比和+等差和
=a1(1-q^n)/(1-q) + n(a1+an)/2
代数得：
Sn=(n^2+n+9)/2 -3