设数列{an}的各项均为不等的正整数，其前n项和为Sn，我们成满足条件“对任意的m，n∈N*，均有（n-m）Sm+n=（m+n）（Sn-Sm）”的数列{an}为“好”数列．（1）试判断数列{an}，{bn}是否为“好”数

Question

设数列{a_n}的各项均为不等的正整数，其前n项和为S_n，我们成满足条件“对任意的m，n∈N^*，均有（n-m）S_m+n=（m+n）（S_n-S_m）”的数列{a_n}为“好”数列．
（1）试判断数列{a_n}，{b_n}是否为“好”数列，其中an=2n-1，bn=2n-1，n∈N*，并给出证明．
（2）已知数列{c_n}为“好”数列．
①c₂₀₁₆=2017，求数列的通项公式；
②若c₁=p，且对任意的给定正整数p，s（s>1），有c₁，c_s，c_t成等比数列，求证：t≥s²．

Answer 1

（1）由a_n=2n-1，可得S_n=(n(1+2n-1))/(2)=n²，
从而（n-m）S_n+m=（n-m）（n+m）²，（n+m）（S_n-S_m）=（n+m）（n²-m²）=（n-m）（n+m）²，
故对任意的m，n∈N^*，均有（n-m）S_m+n=（m+n）（S_n-S_m），则数列{a_n}为“好”数列；
若b_n=2^n-1，取n=2，m=1，可得（n-m）S_n+m=S₃=1+2+4=7，（m+n）（S_n-S_m）=3×（1+2-1）=6，
此时（n-m）S_m+n≠（m+n）（S_n-S_m），即有数列{c_n}不为“好”数列；
（2）①∵对任意的m，n∈N^*，均有（n-m）S_n+m=（n+m）（S_n-S_m），
令m=1，则（n-1）S_n+1=（n+1）（S_n-a₁）．化为nc_n+1=S_n+1+S_n-（n+1）c₁，
n≥2时，（n-1）c_n=S_n+S_n-1-nc₁，
∴nc_n+1-（n-1）c_n=c_n+1+c_n-c₁，
∴（n-1）c_n+1-nc_n=-c₁，
（n-2）c_n-（n-1）c_n-1=-c₁，
∴（n-1）（c_n+1+c_n-1）=2（n-1）c_n，
∴c_n+1+c_n-1=2c_n．
∴数列{c_n}是等差数列．
∵c₂₀₁₆=2017=c₁+2015d，即2017-c₁=2015d，
∵数列{c_n}的各项均为不等的正整数，∴d=1．
则c₁=2，∴c_n=2+（n-1）=1+n；
②证明：若c₁=p，则c_n=dn+p-d．
由c₁，c_s，c_t成等比数列，
可得c_s²=c₁c_t，
即为（ds+p-d）²=p（dt+p-d），
化简可得p（t+1-2s）=d（s-1）²，
即d=(t+1-2s)/((s-1)2)•p，
对任意的给定正整数p，要使d为正整数，
必须使(t+1-2s)/((s-1)2)为正整数，
不妨设k=(t+1-2s)/((s-1)2)，s>1且为给定正整数，
可得t=k（s-1）²+2s-1≥（s-1）²+2s-1=s²，
即有t≥s²．