在平面直角坐标系中，已知抛物线y=-12x2+bx+c（b，c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，-1），C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限．（1）如图，若该抛物线过A，

Question

在平面直角坐标系中，已知抛物线y=-(1)/(2)x²+bx+c（b，c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，-1），C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限．
（1）如图，若该抛物线过A，B两点，求b，c的值；
（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与直线AC交于另一点Q．
①点M在直线AC下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M，P，Q三点为顶点的三角形是以PQ为腰的等腰直角三角形时，求点M的坐标；
②取BC的中点N，连接NP，BQ．当(PQ)/(NP+BQ)取最大值时，点Q的坐标为

((4)/(3)，(1)/(3))，

((4)/(3)，(1)/(3))，

．

Answer 1

（1）由题意，得点B的坐标为（4，-1）
∵抛物线过点A（0，-1），B（4，-1）两点，

−1＝c

−1＝−(1)/(2)×42+4b+c

，
解得：

b＝2

c＝−1

；

（2）由（1）得 y＝−(1)/(2)x2+2x−1．
①∵A的坐标为（0，-1），C的坐标为（4，3）．
∴直线AC的解析式为：y=x-1．
设平移前的抛物线的顶点为P₀，可得P₀（2，1），且P₀在直线AC上．
∴AP0＝2√(2)，
∵点P在直线AC上滑动，且与直线AC交于另一点Q．
∴PQ=AP₀=2√(2)，
∵PQ为直角边，M到PQ的距离为2√(2)（即为PQ的长）．
由A（0，-1），B（4，-1），P₀（2，1）可知：
△ABP₀为等腰直角三角形，且BP₀⊥AC，BP₀=2√(2)．
过点B作直线l₁∥AC，直线l₁与抛物线y=-(1)/(2)x²+2x-1的交点即为符合条件的点M．
∴可设直线l₁的解析式为：y=x+b₁．
又∵点B的坐标为（4，-1），
∴-1=4+b₁．解得b₁=-5．
∴直线l₁的解析式为：y=x-5．
解方程组

y＝x−5

y＝−(1)/(2)x2+2x−1

，
解得：

x＝4

y＝−1

或

x＝−2

y＝−7

，
∴M₁（4，-1），M₂（-2，-7）；
②当PQ为斜边时：MP=MQ=2，可求得点M到PQ的距离为√(2)．
如答图2，取AB的中点F，则点F的坐标为（2，-1）．
由A（0，-1），F（2，-1），P₀（2，1）可知：
△AFP₀为等腰直角三角形，且点F到直线AC的距离为√(2)．
过点F作直线l₂∥AC，交抛物线y=(1)/(2)x²+2x-1于点M，则M为符合条件的点．
∴可设直线l₂的解析式为：y=x+b₂，
∵F（2，-1），
∴-1=2+b₂，
解得b₂=-3，
∴直线l₂的解析式为：y=x-3．
解方程组

y＝x−3

y＝−(1)/(2)x2+2x−1

得：

x＝1+√(5)

y＝−2+√(5)

或

x＝1−√(5)

y＝−2−√(5)

，
综上所述，所有符合条件的点M的坐标为：
M₁（4，-1），M₂（-2，-7），M₃（1+√(5)，-2+√(5)），M₄（1-√(5)，-2-√(5)）；
②取点B关于AC的对称点B′，易得点B′的坐标为（0，3），BQ=B′Q．
连接QF，FN，QB′，易得FN∥PQ，且FN=PQ，
∴四边形PQFN为平行四边形．
∴NP=FQ．
∴NP+BQ=FQ+B′Q≥FB′
∴当B′、Q、F三点共线时，NP+BQ最小，则(PQ)/(NP+BQ)取最大值，
∴点Q的坐标为((4)/(3)，(1)/(3))，
故答案为：((4)/(3)，(1)/(3))．