以双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）上一点M为圆心的圆与x轴恰相切于双曲线的一个焦点F，且与y轴交于P、Q两点．若△MPQ为正三角形，则该双曲线的离心率为（）A.4B.7C.233D.3

Question

以双曲线

(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1（a>0，b>0）上一点M为圆心的圆与x轴恰相切于双曲线的一个焦点F，且与y轴交于P、Q两点．若△MPQ为正三角形，则该双曲线的离心率为（　　）

A. 4

B.

√(7)

C.

(2√(3))/(3)

D.

√(3)

Answer 1

由题意可设F（c，0），
MF⊥x轴，可设M（c，n），n>0，
设x=c，代入双曲线的方程可得y=b√((c2)/(a2)-1)=(b2)/(a)，
即有M（c，(b2)/(a)），
可得圆的圆心为M，半径为(b2)/(a)，
即有M到y轴的距离为c，
可得|PQ|=2√((b4)/(a2)-c2)，
由△MPQ为等边三角形，可得
c=(√(3))/(2)•2√((b4)/(a2)-c2)，
化简可得3b⁴=4a²c²，
由c²=a²+b²，可得3c⁴-10c²a²+3a⁴=0，
由e=(c)/(a)，可得3e⁴-10e²+3=0，
解得e²=3（(1)/(3)舍去），
即有e=√(3)．
故选：D．