锐角△ABC中，BC=6，S△ABC=12，两动点M、N分别在边AB、AC上滑动，且MN∥BC，以MN为边向下作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y（y＞0），当x=，公共部分面积y最

Question

锐角△ABC中，BC=6，S_△ABC=12，两动点M、N分别在边AB、AC上滑动，且MN∥BC，以MN为边向下作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y（y＞0），当x=______，公共部分面积y最大，y最大值=______．

Answer 1

公共部分分为三种情形：在三角形内；刚好一边在BC上，此时为正方形；正方形有一部分在三角形外，此时为矩形．显然在内部时的面积比刚好在边上时要小，所以需比较后两种情形时的面积大小．
（1）求公共部分是正方形时的面积，
作AD⊥BC于D点，交MN于E点，
∵BC=6，S_△ABC=12，
∴AD=4，
∵MN∥BC，
∴(MN)/(BC)＝(AE)/(AD)即(x)/(6)＝(4−x)/(4)，
解得x=2.4，
此时面积y=2.4²=5.76．
（2）当公共部分是矩形时如图所示：
设DE=a，根据(MN)/(BC)＝(AE)/(AD)得(x)/(6)=(4−a)/(4)，
所以a=4-(2)/(3)x，公共部分的面积y=x（4-(2)/(3)x）=-(2)/(3)x²+4x，
∵-(2)/(3)＜0，
∴y有最大值，
当x=-(4)/(2×(−(2)/(3)))=3时，y_最大值=(−42)/(4×(−(2)/(3)))=6．
综上所述，当x=3时，公共部分的面积y最大，最大值为6．