求xx/根号(1+xx)的积分

Question

求xx/根号(1+xx)的积分

Answer 1

x^2/(1+x^2)^(1/2)
=(1+x^2-1)/(1+x^2)^(1/2)
=(1+x^2)^(1/2)-1/(1+x^2)^(1/2)
设x=tana a=arctanx
dx=sec^2ada
原式=
fsec^3ada-fsecada
其中
∫secada=∫(da)/cosa=∫(cosa/cos²a)dx
=∫(d sina)/(1-sin²a)
=(1/2)ln│(1+sina)/(1-sina)│+C
=(1/2)ln(1+sina)²/(1-sin²a)+C
=ln│seca+tana│+C
x=tana a=arctanx seca=secarctanx=（1+x^2)^(1/2)
即：∫secada＝ln|根（1+x^2)+x|
∫sec³ada
=∫secad(tana)
=secatana-∫tanad(seca)
=secatana-∫tan²asecada
=secatana-∫(sec²a-1)secadx
=secatana+∫secadx-∫sec³adx
=secatana+ln|seca+tana|-∫sec³ada
即：∫sec³ada=secatana+ln|seca+tana|-∫sec³ada
所以∫sec³ada=1/2[secatana+ln|seca+tana|]+C
=1/2[x根（1+x^2)+ln|根（1+x^2)+x|]+C
原式=1/2[x根（1+x^2)+ln|根（1+x^2)+x|]-ln|根（1+x^2)+x|
=1/2[x根（1+x^2)-ln|根（1+x^2)+x|]+C