已知数列{an}，其前n项和为Sn．（1）若{an}是公差为d（d>0）的等差数列，且{Sn+n}也为公差为d的等差数列，求数列{an}的通项公式；（2）若数列{an}对任意m，n∈N*，且m≠n，都有2Sm+nm+n=am+an+am-an

Question

已知数列{a_n}，其前n项和为S_n．
（1）若{a_n}是公差为d（d>0）的等差数列，且{√(Sn+n)}也为公差为d的等差数列，求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}对任意m，n∈N^*，且m≠n，都有(2Sm+n)/(m+n)=a_m+a_n+(am-an)/(m-n)，求证：数列{a_n}是等差数列．

Answer 1

（1）根据题意得：a_n=a₁+（n-1）d，S_n=na₁+(n(n-1))/(2)d，
∴√(Sn+n)=√(n(a1+(n-1)/(2)d+1))成等差数列，公差为d，
∴√(Sn+n)=dn，
∴

a1+1-(d)/(2)=0

√((d)/(2))=d

，
解得：d=(1)/(2)，a₁=-(3)/(4)，
则a_n=(1)/(2)n-(5)/(4)；
（2）令m=2，n=1，则(2S3)/(3)=2a₂，即(a1+a2+a3)/(3)=a²，
整理得：a₁+a₃=2a₂，即a₁，a₂，a₃成等差数列，
下面用数学归纳法证明{a_n}成等差数列，
假设a₁，a₂，…，a_k成等差数列，其中k≥3，公差为d，
则令m=k，n=1，(2Sk+1)/(k+1)=a_k+a₁+d，
∴2Sk+1=（k+1）（a_k+a₁+d）=k（a_k+a₁）+a₁+a_k+（k+1）d=2S_k+a₁+a_k+（k+1）d，
∴2a_k+1=a₁+a_k+（k+1）d=2（a₁+kd），即a_k+1=a₁+kd，
∴a₁，a₂，…，a_k，a_k+1成等差数列，
则对于一切自然数，数列{a_n}是等差数列．