已知抛物线方程为y2=4x，过Q（2，0）作直线l．①若l与x轴不垂直，交抛物线于A、B两点，是否存在x轴上一定点E（m，0），使得∠AEQ=∠BEQ？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由？②

Question

已知抛物线方程为y ² =4x，过Q（2，0）作直线l．
①若l与x轴不垂直，交抛物线于A、B两点，是否存在x轴上一定点E（m，0），使得∠AEQ=∠BEQ？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由？
②若L与X轴垂直，抛物线的任一切线与y轴和L分别交于M、N两点，则自点M到以QN为直径的圆的切线长|MT|为定值，试证之．

Answer 1

①设l的方程为：y=k（x﹣2），
设A（x ₁ ，y ₁ ），B（x ₂ ，y ₂ ）
由 消去
得： ， ，y ₁ y ₂ =﹣8
若∠AEQ=∠BEQ，则k _AE +k _BC =0
即：
y ₁ x ₂ +y ₂ x ₁ ﹣m（y ₁ +y ₂ ）=0
﹣2（y ₁ +y ₂ ）﹣m（y ₁ +y ₂ ）=0
m=﹣2
故存在m=﹣2，使得∠AEQ=∠BEQ
②设P（x ₀ ，y ₀ ）在抛物线上，
由抛物线的对称性，不妨设y ₀ ＞0，则过P点的切线斜率 ，
切线方程为： ，且 （9分）
令 ，
∴
令 ，
∴
则以QN为直径的圆的圆心坐标为 ，半径
∴
=
∴