对于无穷数列{an}与{bn}，记A={x|x=an，n∈N*}，B={x|x=bn，n∈N*}，若同时满足条件：①{an}，{bn}均单调递增；②A∩B=∅且A∪B=N*，则称{an}与{bn}是无穷互补数列．（1）若an=2n-1，bn=4n-2，判断{an}与{bn}

Question

对于无穷数列{a_n}与{b_n}，记A={x|x=a_n，n∈N^*}，B={x|x=b_n，n∈N^*}，若同时满足条件：①{a_n}，{b_n}均单调递增；②A∩B=∅且A∪B=N^*，则称{a_n}与{b_n}是无穷互补数列．
（1）若a_n=2n-1，b_n=4n-2，判断{a_n}与{b_n}是否为无穷互补数列，并说明理由；
（2）若a_n=2ⁿ且{a_n}与{b_n}是无穷互补数列，求数量{b_n}的前16项的和；
（3）若{a_n}与{b_n}是无穷互补数列，{a_n}为等差数列且a₁₆=36，求{a_n}与{b_n}的通项公式．

Answer 1

（1）{a_n}与{b_n}不是无穷互补数列．
理由：由a_n=2n-1，b_n=4n-2，可得4∉A，4∉B，
即有4∉A∪B=N^*，即有{a_n}与{b_n}不是无穷互补数列；
（2）由a_n=2ⁿ，可得a₄=16，a₅=32，
由{a_n}与{b_n}是无穷互补数列，可得b₁₆=16+4=20，
即有数列{b_n}的前16项的和为
（1+2+3+…+20）-（2+4+8+16）=(1+20)/(2)×20-30=180；
（3）设{a_n}为公差为d（d为正整数）的等差数列且a₁₆=36，则a₁+15d=36，
由a₁=36-15d≥1，可得d=1或2，
若d=1，则a₁=21，a_n=n+20，b_n=n（1≤n≤20），
与{a_n}与{b_n}是无穷互补数列矛盾，舍去；
若d=2，则a₁=6，a_n=2n+4，b_n=

n，n≤5

2n-5，n>5

．
综上可得，a_n=2n+4，b_n=

n，n≤5

2n-5，n>5

．