100个正整数之和为101101,则它们的最大公约数的值是多少证明你的结论

Question

100个正整数之和为101101,则它们的最大公约数的值是多少
证明你的结论

Answer 1

首先,公约数必能整除和,个位数是1.如果公约数的个位是0,则和的个位数也必为0.
再考虑,题目说有100个自然数.101101除以1001是101.
99个1001和一个2002就能满足条件.
因此1001.设100个正整数为a1,a2,…,a100,最大公约数为d,并令
则a1＋a2＋…＋a100＝d（a1′＋a2′＋…＋a′100）＝101101＝101×1001,故知a1′,a2′,a′100不可能都是1,从而a′1＋a′2＋…＋a′100≥1×99＋2＝101,d≤1001；若取a1＝a2＝a99＝1001,a100＝2002,则满足a1＋a2＋…＋a100＝1001×101＝101101,且d＝1001,故d的最大可能值为1001．