已知等边三角形ABC和点P,设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1,h2,h3,△ABC的高为h.1.当P在BC上,此时h3=0,证明：h1+h2+h3+=h2.当P△ABC内时,上述结论还成立吗?试证明你的结论3.当P△ABC外时,猜想并

Question

已知等边三角形ABC和点P,设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为h1,h2,h3,△ABC的高为h.
1.当P在BC上,此时h3=0,证明：h1+h2+h3+=h
2.当P△ABC内时,上述结论还成立吗?试证明你的结论
3.当P△ABC外时,猜想并直接写出它们之间的结论,无需证明

Answer 1

三问均可以用面积法求解,首先求出等边△ABC的面积,设△ABC的边长为a,那么很容易得到a²=h²+(0.5a)²,解得a=2√3h/3,所以S（△ABC）=0.5·a·h=√3h²/3.
1..当P在BC上,此时h3=0,由S（△ABC）=S（△ABP）+S（△ACP）,得2×√3h²/3=a·h1+a·h2,把a=2√3h/3代入,得h1+h2=h,因为h3=0,所以h1+h2+h3=h.
2.用同样的证法,由S（△ABC）=S（△ABP）+S（△ACP）+S（△BCP）,得
2×√3h²/3=a·h1+a·h2+a·h3,把a=2√3h/3代入,得h1+h2+h3=h.
3.有三种情况,根据P点位置不同有不同结论,设BC为水平线方向,A在BC上方（为了说明方向才这样设）,
当P在△ABC右上方时,h1+h3-h2=h,
当P在△ABC左方时,h2+h3-h1=h,
当P在△ABC下方时,h1-h2+h3=h,
三个结论证法类似,本人以第一个结论举例证明,（自己做出图）,连结PA、PB、PC,则由
S（四边形PABC）=S（△PAB）+S（△PBC）=S（△PAC）+S（△ABC）,得
a·h1+a·h3=a·h2+2×√3h²/3,把a=2√3h/3代入,得h1+h3-h2=h.
下面两个结论证法类似,这里留给楼主自己证明.