已知等差数列{an}满足：a1+a2n-1=2n，n∈N*，设Sn是数列{}的前n项和，记f（n）=S2n-Sn．（1）求an；（2）比较f（n+1）与f（n）的大小；（3）（理）若不等式log2t+log2x+log2（2-x）-log2（12f（n））-3＜0

Question

已知等差数列{a_n}满足：a₁+a_2n-1=2n，n∈N^*，设S_n是数列{}的前n项和，记f（n）=S_2n-S_n．
（1）求a_n；
（2）比较f（n+1）与f（n）的大小；
（3）（理）若不等式log₂t+log₂x+log₂（2-x）-log₂（12f（n））-3＜0对一切大于1的自然数n和所有使不等式有意义的实数x都成立，求实数t的取值范围．
（文）如果函数g（x）=x²-3x-3-12f（n）对于一切大于1的自然数n，其函数值都小于零，求x的取值范围．

Answer 1

（1）设a_n=a₁+（n-1）d，（n∈N^*），由a₁+a_2n-1=2n，得a₁+a₁+（2n-1-1）d=2n，
所以a_n=n
（2）由S_n=++…+=1++…+
f（n）=S_2n-S_n=（1++…+）-（1++…+）=++…+
因为f（n+1）-f（n）=（++…+）-（++…+）
=-=＞0
所以f（n+1）＞f（n）
（3）（理）不等式log₂t+log₂x+log₂（2-x）-log₂（12f（n））-3＜0可化为log₂t＜log₂（0＜x＜2）
∴t＜（0＜x＜2）
要使对一切大于1的自然数n和所有使不等式有意义的实数x都成立，则t＜（）_min（0＜x＜2）
由（2）可知：数列{f（n）}的项的取值是随n的增大而增大，当n≥2时，f（n）的最小值为f（2）=
当0＜x＜2时，x（x-2）的最大值为1
∴（）_min=56（0＜x＜2）
∴t＜56
（文）由（2）可知：数列{f（n）}的项的取值是随n的增大而增大，当n≥2时，f（n）的最小值为f（2）=
∴函数g（x）=x²-3x-3-12f（n）对于一切大于1的自然数n，其函数值都小于零等价于x²-3x-3-7＜0
∴x²-3x-10＜0
∴-2＜x＜5