求教一道复数题化简(z+i)^m=(z-i)^m

Question

求教一道复数题 化简(z+i)^m=(z-i)^m

Answer 1

两边取模得|z+i|^m=|z-i|^m,
当m>0时|z+i|=|z-i|,
设z=x+yi,x,y∈R,则
x^+(y+1)^=x^+(y-1)^,
化简得4y=0,y=0,
∴z∈R.
若m为正整数,由二项式定理,
∑c(m,k)z^(m-k)[i^k-(-i)^k]=0,
∴∑c(m,2p+1)z^(m-2p-1)*2i^(2p+1)=0.