若抛物线y=-x2+2ax+b的顶点在直线mx-y-2m+1=0上移动，且与抛物线y=x2有公共点，求m的取值范围．

Question

若抛物线y=-x²+2ax+b的顶点在直线mx-y-2m+1=0上移动，且与抛物线y=x²有公共点，求m的取值范围．

Answer 1

∵y=-x²+2ax+b=-（x-a）²+a²+b，
∴顶点坐标为（a，a²+b），
代入mx-y-2m+1=0中，得ma-（a²+b）-2m+1=0，
即b=ma-a²-2m+1，
联立

y=- x2+2ax+b

y=x2

，
解得-2x²+2ax+b=0，
∵两抛物线有公共点，
∴△=（2a）²-4×（-2）×b≥0，
即a²+2b≥0，
a²+2（ma-a²-2m+1）≥0，
整理，得2（a-2）m≥a²-2，
当a=2时，无解，
当a>2时，
m≥(a2-2)/(2(a-2))=(1)/(2)[a-2+(2)/(a-2)+4]≥√(2)+2，当a=2+√(2)时取等号；
当a<2时，
m≤(a2-2)/(2a-4)=(1)/(2)[a-2+(2)/(a-2)+4]≤-√(2)+2，当a=2-√(2)时取等号．