设函数f（x）在（负无穷～正无穷）上满足f（2－x）＝f（2＋x）,f（7－x）＝f（7最好十分钟以内f（7－x）＝f（7＋x），且在闭区间〔0，7〕上，只有f（1）＝f（3）=0，判断奇偶性；求方程f(x)=0

Question

设函数f（x）在（负无穷～正无穷）上满足f（2－x）＝f（2＋x）,f（7－x）＝f（7
最好十分钟以内
f（7－x）＝f（7＋x），且在闭区间〔0，7〕上，只有f（1）＝f（3）=0，判断奇偶性；求方程f(x)=0在[-2005,+2005]上跟的个数，并证明

Answer 1

1判断奇偶性首先判断f(0)
f(-7)=f(-4)=f(0)=f(4)=f(7) f(1)=f(3)=0
那么f(0)肯定不为0,不可能是奇函数,下面向偶函数方向证明
f(2-x)=f(2+x) 令t=x+2 x=t-2
f(t)=f(2+x)=f(2-x)=f(2-t+2)=f(-t)所以此函数是偶函数
2
先求此函数的最小周期
令2-x=t
f(7-t)=f(7-2+x)=f(5+x)
f(7+t)=f(7+2+x)=f(9+x)
因此可知 f(x)=f(x+4)
最小周期为4
在一个最小周期[0,4]中有1,3两个实根
下面求出[0,2005]有多少个最小周期再乘以2即可
2005/4=501
501*2=1002
此时注意,2005这个数,最后除以4余的一个1也是一个实根
所以在[0,2005]区间内一共有501*2+1=1003个实根
同理在[-2005,0]区间也有1003个实根
总共有2006个实根