如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，点E是AD边上一动点（不与点A，D重合），过A、E、C三点的O交AB延长线于点F，连接CE、CF．（1）求证：△DEC∽△BFC；（2）设DE的长为x，△AEF的面积为y．①求y

Question

如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，点E是AD边上一动点（不与点A，D重合 ），过A、E、C三点的 O交AB延长线于点F，连接CE、CF．

（1）求证：△DEC∽△BFC；
（2）设DE的长为x，△AEF的面积为y．
①求y关于x的函数关系式，并求出当x为何值时，y有最大值；
②连接AC，若△ACF为等腰三角形，求x的值．

Answer 1

（1）证明：如图1中，连接EF．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=1，AD=BC=2，∠A=∠D=∠DCB=∠ABC=∠CBF=90°，
∴EF是 O直径，
∴∠ECF=90°，
∴∠DCB=∠ECF，
∴∠DCE=∠BCF，∵∠D=∠CBF，
∴△DEC∽△BFC．

（2）①∵△DEC∽△BFC，
∴(DE)/(BF)=(CD)/(CB)，
∴(x)/(BF)=(1)/(2)，
∴BF=2x，AF=1+2x，
∴y=(1)/(2)•AE•AF=(1)/(2)（2-x）（1+2x）=-x²+(3)/(2)x+1=-（x-(3)/(4)）²+(25)/(16)，
∵-1<0，
∴当x=(3)/(4)时，y有最大值．

②如图2中，a、当AC=AF=√(5)时，
∵BF=2x=√(5)-1，
∴x=(√(5)-1)/(2)．
b、当CA=CF时，易知AB=BF=1，
∴2x=1，
∴x=(1)/(2)．
c、当FC=FA时，则有（2x）²+2²=（1+2x）²，
解得x=(3)/(4)，
综上所述，△ACF为等腰三角形，x的值为(√(5)-1)/(2)或(1)/(2)或(3)/(4)．