已知函数f(x)=2x-π，g(x)=cosx．(Ⅰ)设h(x)=f(x)-g(x)，若，，k∈Z，试比较与的大小关系；(Ⅱ)若且．求证：．

Question

已知函数f(x)=2x-π，g(x)=cosx．
(Ⅰ)设h(x)=f(x)-g(x)，若， ， k∈Z，试比较与的大小关系；
(Ⅱ)若且．求证：．____

Answer 1

【分析】(I)h(x)=2x-π-cosx，令ϕ．然后利用导数研究函数的最小值，讨论k的奇偶，即可得到与的大小关系；
(II)由条件知：2x_n+1-π=cosx_n，则x∈R时恒有|x|≥|sinx|，从而得到，然后利用等比数列求和公式进行求和即可证得结论．

(Ⅰ)h(x)=2x-π-cosx．
∴
=．
令．
则．
又．
∴当k为偶数时，时，ϕ'(x)<0．
x∈时，ϕ'(x)>0．
∴ϕ(x)>ϕ(x₂)=0．∴从而．
同理可得当k为奇数时，．
∴当k为偶数时，，
当k为奇数时，．
(Ⅱ)由条件知：2x_n+1-π=cosx_n．
当，当，
∴x∈R时恒有|x|≥|sinx|．
故．
又，
∴．
∴
=．

【点评】本题主要考查了利用导数证明不等式，以及数列与不等式的综合，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．