（2014•沈阳一模）已知函数f（x）=lnx，g(x)＝12ax+b．（Ⅰ）若f（x）与g（x）在x=1处相切，试求g（x）的表达式；（Ⅱ）若φ(x)＝m(x−1)x+1−f(x)在[1，+∞）上是减函数，求实数m的取值范围；（

Question

（2014•沈阳一模）已知函数f（x）=lnx，g(x)＝(1)/(2)ax+b．
（Ⅰ）若f（x）与g（x）在x=1处相切，试求g（x）的表达式；
（Ⅱ）若φ(x)＝(m(x−1))/(x+1)−f(x)在[1，+∞）上是减函数，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）证明不等式：(2n)/(n+1)＜(1)/(ln2)+(1)/(ln3)+(1)/(ln4)+…+(1)/(ln(n+1))＜(n)/(2)+1+(1)/(2)+(1)/(3)+…+(1)/(n)．

Answer 1

（Ⅰ）∵f（x）=lnx，∴f′(x)＝(1)/(x)，∴f′(1)＝1＝(1)/(2)a，得：a=2------------------（2分）
又∵g(1)＝0＝(1)/(2)a+b，∴b=-1，∴g（x）=x-1；----------------（3分）
（Ⅱ）∵φ(x)＝(m(x−1))/(x+1)−f(x)=(m(x−1))/(x+1)−lnx在[1，+∞）上是减函数，∴ϕ′(x)＝(−x2+(2m−2)x−1)/(x(x+1)2)≤0在[1，+∞）上恒成立．------------------（5分）
即x²-（2m-2）x+1≥0在[1，+∞）上恒成立，由2m−2≤x+(1)/(x)，x∈[1，+∞），
∵x+(1)/(x)∈[2，+∞)，∴2m-2≤2得m≤2；------------------（6分）
（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）可得：当x≥2时，lnx＜x−1≤(x)/(2)(x−1)，
∴lnx＜(1)/(2)x(x−1)得：(2)/(x(x−1))＜(1)/(lnx)，∴2((1)/(x−1)−(1)/(x))＜(1)/(lnx)，------------------（8分）
∴当x=2时，2((1)/(1)−(1)/(2))＜(1)/(ln2)；当x=3时，2((1)/(2)−(1)/(3))＜(1)/(ln3)；当x=4时，2((1)/(3)−(1)/(4))＜(1)/(ln4)，…，当x=n+1时，2((1)/(n)−(1)/(n+1))＜(1)/(ln(n+1))，n∈N₊，n≥2
上述不等式相加得：2(1−(1)/(n+1))＜(1)/(ln2)+(1)/(ln3)+(1)/(ln4)+…+

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作业帮用户 2017-10-14

问题解析

（Ⅰ）求导数，利用f（x）与g（x）在x=1处相切，可求g（x）的表达式；
（Ⅱ）φ(x)＝(m(x−1))/(x+1)−f(x)在[1，+∞）上是减函数，可得导函数小于等于0在[1，+∞）上恒成立，分离参数，利用基本不等式，可求实数m的取值范围；
（Ⅲ）当x≥2时，证明2((1)/(x−1)−(1)/(x))＜(1)/(lnx)，当x＞1时，证明(1)/(lnx)＜(1)/(2)•(x+1)/(x−1)，利用叠加法，即可得到结论．

名师点评

本题考点：

不等式的证明；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评：

本题考查不等式的证明，考查导数知识的运用，考查基本不等式的运用，考查叠加法，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．

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