（2014•新疆）如图，直线y=-43x+8与x轴交于A点，与y轴交于B点，动点P从A点出发，以每秒2个单位的速度沿AO方向向点O匀速运动，同时动点Q从B点出发，以每秒1个单位的速度沿BA方向向点A匀速运

Question

（2014•新疆）如图，直线y=-(4)/(3)x+8与x轴交于A点，与y轴交于B点，动点P从A点出发，以每秒2个单位的速度沿AO方向向点O匀速运动，同时动点Q从B点出发，以每秒1个单位的速度沿BA方向向点A匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t≤3）．
（1）写出A，B两点的坐标；
（2）设△AQP的面积为S，试求出S与t之间的函数关系式；并求出当t为何值时，△AQP的面积最大？
（3）当t为何值时，以点A，P，Q为顶点的三角形与△ABO相似，并直接写出此时点Q的坐标．

Answer 1

（1）令y=0，则-(4)/(3)x+8=0，
解得x=6，
x=0时，y=y=8，
∴OA=6，OB=8，
∴点A（6，0），B（0，8）；

（2）在Rt△AOB中，由勾股定理得，AB=√(OA2+OB2)=√(62+82)=10，
∵点P的速度是每秒2个单位，点Q的速度是每秒1个单位，
∴AP=2t，
AQ=AB-BQ=10-t，
∴点Q到AP的距离为AQ•sin∠OAB=（10-t）×(8)/(10)=(4)/(5)（10-t），
∴△AQP的面积S=(1)/(2)×2t×(4)/(5)（10-t）=-(4)/(5)（t²-10t）=-(4)/(5)（t-5）²+20，
∵-(4)/(5)＜0，0＜t≤3，
∴当t=3时，△AQP的面积最大，S_最大=-(4)/(5)（3-5）²+20=(84)/(5)；

（3）若∠APQ=90°，则cos∠OAB=(AP)/(AQ)，
∴(2t)/(10−t)=(6)/(10)，
解得t=(30)/(13)，
若∠AQP=90°，则cos∠OAB=(AQ)/(AP)，
∴(10−t)/(2t)=(6)/(10)，
解得t=(50)/(11)，
∵0＜t≤3，
∴t的值为(30)/(13)，
此时，OP=6-2×

作业帮用户 2017-10-04

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