如图，抛物线的对称轴是x=-1，与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，3）．动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线

Question

如图，抛物线的对称轴是x=-1，与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点 B（0，3）．动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）当t为何值时，四边形OMPQ为矩形；
（3）△AON能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

（1）根据题意，设抛物线的解析式为：y=a（x+1）²+k，
∵点A（1，0），B（0，3）在抛物线上，
∴

4a+k＝0

a+k＝3

，
解得：

a＝−1

k＝4

，
∴抛物线的解析式为：y=-（x+1）²+4；

（2）∵四边形OMPQ为矩形，
∴OM=PQ，即3t=-（t+1）²+4，
整理得：t²+5t-3=0，
解得t=(−5±√(37))/(2)，
由于t=(−5−√(37))/(2)＜0，故舍去，
∴当t=(√(37)−5)/(2)秒时，四边形OMPQ为矩形；

（3）在Rt△AOB中，
∵OA=1，OB=3，
∴tan∠A=(OB)/(OA)=3，
若△AON为等腰三角形，有三种情况：
（I）若ON=AN，如答图1所示：
则Q为OA中点，OQ=(1)/(2)OA=(1)/(2)，
∴t=(1)/(2)；
（II）若ON=OA，如答图2所示：
设AQ=x，则NQ=AQ•tanA=3x，OQ=OA-AQ=1-x，
在Rt△NOQ中，由勾股定理得：OQ²+NQ²=ON²，
即（1-x）²+（3x）²=1²，
解得x₁=(1)/(5)，x₂=0（舍去），
∴x=(1)/(5)，OD=1-x=(4)/(5)，
∴t=(4)/(5)；
（III）若OA=AN，如答图3所示：
设AD=x，则NQ=AQ•tanA=3x，
在Rt△ANQ中，由勾股定理得：NQ²+AQ²=AN²，
即（x）²+（3x）²=1²，
解得x₁=(√(10))/(10)，x₂=-(√(10))/(10)（舍去），
∴OQ=1-x=1-(√(10))/(10)，
∴t=1-(√(10))/(10)．
综上所述，当t为(1)/(2)秒、(4)/(5)秒，（1-(√(10))/(10)）秒时，△AON为等腰三角形．