如图，正方形ABCD的边AB=8厘米，对角线AC、BD交于点O，点P沿射线AB从点A开始以2厘米/秒的速度运动；点E沿DB边从点D开始向点B以2厘米/秒的速度运动．如果P、E同时出发，用t秒表示运动的时间

Question

如图，正方形ABCD的边AB=8厘米，对角线AC、BD交于点O，点P沿射线AB从点A开始以2厘米/秒的速度运动；点E沿DB边从点D开始向点B以√(2)厘米/秒的速度运动．如果P、E同时出发，用t秒表示运动的时间（0＜t＜8）．
（1）如图1，当0＜t＜4时，①求证：△APC∽△DEC；②判断△PEC的形状并说明理由；
（2）若以P、C、E、B为顶点的四边形的面积为25，求运动时间t的值．

Answer 1

（1）①证明：∵AB=8cm，
∴AC=BD=√(2)AB=8√(2)cm，
∵点P的运动的速度为2厘米/秒，点E运动的速度为√(2)厘米/秒，
∴AP=2t，DE=√(2)t，
∴(AP)/(DE)=(2t)/(√(2)t)=√(2)，
∵(AC)/(CD)=(8√(2))/(8)=√(2)，
∴(AP)/(DE)=(AC)/(CD)，
又∵∠PAC=∠EDC=45°，
∴△APC∽△DEC；

②∵△APC∽△DEC，
∴(PC)/(CE)=(AP)/(DE)=√(2)，∠ACP=∠DCE，
∴∠PCE=∠ACP+∠ACE=∠DCE+∠ACE=∠ACD=45°，
∴△PEC是等腰直角三角形；

（2）∵DE=√(2)t，
∴BE=8√(2)-√(2)t，
∴点E到AB、BC的距离相等，都是（8√(2)-√(2)t）×(√(2))/(2)=8-t，
①0＜t＜4时，点P在AB上，
四边形的面积=S_△PBE+S_△BCE，
=(1)/(2)（8-2t）×（8-t）+(1)/(2)×8×（8-t），
=（8-t）²，
∴（8-t）²=25，
解得t₁=3，t₂=13（舍去），
②4＜t＜8时，如图，点P在AB的延长线上，
四边形的面积=S_△PBC+S_△BCE，
=(1)/(2)（2t-8）×8+(1)/(2)×8×（8-t），
=4t，
∴4t=25，
解得t=(25)/(4)，
综上所述，t=3或(25)/(4)秒时，以P、C、E、B为顶点的四边形的面积为25．