设定义在R上的函数f（x）满足f（2x）=2f（x）+1且，f（1）=2．（1）求f（0），f（2），f（4）的值；（2）若f（x）为一次函数，且g（x）=（x-m）f（x）在（3，+∞）上为增函数，求m的取值范围．

Question

设定义在R上的函数f（x）满足f（2x）=2f（x）+1且，f（1）=2．
（1）求f（0），f（2），f（4）的值；
（2）若f（x）为一次函数，且g（x）=（x-m）f（x）在（3，+∞）上为增函数，求m的取值范围．

Answer 1

（1）∵定义在R上的函数f（x）满足f（2x）=2f（x）+1且，f（1）=2，
∴f（0）=f（2×0）=2f（0）+1，解得f（0）=-1．
f（2）=f（2×1）=2f（1）+1=2×2+1=5，
f（4）=f（2×2）=2f（2）+1=2×5+1=11．
（2）∵f（x）为一次函数，且g（x）=（x-m）f（x）在（3，+∞）上为增函数，
∴设f（x）=kx+b，k≠0，
∵f（1）=2，f（0）=-1，∴

k+b=2

b=-1

，解得k=3，b=-1，
∴f（x）=3x-1，
则g（x）=（x-m）（3x-1）=3x²-（3m+1）x+m，
由题意得(3m+1)/(6)≤3，解得m≤(17)/(3)．
∴m的取值范围（-∞，(17)/(3)]．