有一函数,f：R→R满足关系式f（2x）=2f（x）/（1+f²（x））以下几个问题是独立的哪些函数是可导的,满足上面的关系式,且f（0）=±1若f（0)=0,求证x∈R,f（x）∈]﹣1,1[若g（2x）=2g（x）,数列an

Question

有一函数,f：R→R 满足关系式 f（2x）=2f（x）/（1+f²（x））
以下几个问题是独立的
哪些函数是可导的,满足上面的关系式,且f（0）=±1
若f（0)=0,求证x∈R,f（x）∈]﹣1,1[
若g（2x）=2g（x）,数列an=2^ng（2^n/x)/x
求证该数列是收敛数列
原题是法文的,可能在翻译过程中有专业词上的误差,如有疑问,可以留言.
第三图数列的表达式是图片中的Vn的表达式

Answer 1

第一题我会算,如果f(0)=1,则f(x)=1（常数函数）,如果f(0)=-1,则f(x)=-1（常数函数）.
不妨设f(0)=1,则因为f(2x)和f(x)同号,可推出：f(x)>0,对所有x成立.大致思路：f(x)和f(x/2)同号,也就是和f(x/4)同号,递推下去和f(x/2^k)同号.当k趋向无穷大时,f(x/2^k)应该是正号,因为x/2^k接近0,而f(x)在x=0处连续,所以一路反推回来,f(x)也必须是正号.
这样的话,还可以推出01,这个方程去解f(x/2),是没有实数解的.
最后证明所有f(x)=1.如果不然,存在某x0,满足f(x0)