已知四边形ABCD内接于O，对角线AC与BD相交于点E．（1）如图1，当AC⊥BD，OF⊥CD于点F，交AC于点G时，求证：∠OGA=∠BAC；（2）如图2，在（1）问的条件下，求证：AB=2OF；（3）如图3，当AB=AD，∠B

Question

已知四边形ABCD内接于 O，对角线AC与BD相交于点E．
（1）如图1，当AC⊥BD，OF⊥CD于点F，交AC于点G时，求证：∠OGA=∠BAC；
（2）如图2，在（1）问的条件下，求证：AB=2OF；
（3）如图3，当AB=AD，∠BAC=∠BCD，BK⊥AC于点K时，且AK=1，BD=12，求CD的长．

Answer 1

证明：（1）如图1，

∵AC⊥BD，
∴∠CED=90°．
∵OF⊥CD于点F，
∴∠GFC=90°．
∴∠CGF=∠CDE=90°-∠ECD，
∵∠OGA=∠CGF，
∴∠OGA=∠CDE，
∵∠CDE=∠BAC，
∴∠OGA=∠BAC；

（2）如图2，延长DO交圆于M，连接AM，CM，

∵O为MD的中点，F为DC的中点，
∴OF为△DCM的中位线，
∴OF=(1)/(2)MC，
∵∠AMD=∠ACD，∠MAD=90°
∴∠ADM+∠AMD=90°，∠ACD+∠CDB=90°，
∴∠ADM=∠CDB，
∴∠ADB=∠MDC，
∴AB=MC，
∴AB=2OF；

（3）如图3，在KC上取一点F，使得BF=BA，连接CD，

∵BF=BA，BK⊥AF，
∴KF=AK=1，∠BAF=∠BFA，
∴∠ABF=180°-2∠BAF．
∵∠BAC=∠BCD，
∴BC=BD，
∴∠BCD=∠BDC，
∴∠DBC=180°-2∠BCD，
∴∠ABF=∠DBC，
∴∠ABF+∠FBD=∠DBC+∠FBD，即∠ABD=∠FBC．
在△ABD和△FBC中，

BA=BF

∠ABD=∠FBC

BD=BC

，
∴△ABD≌△FBC，
∴AD=FC．
∵AB=AD，
∴FC=AB=BF．
设FC=x，则BF=x，KC=x+1．
∵BK⊥AC，即∠BKC=90°，
∴BK²=BF²-KF²=BC²-KC²，
∴x²-1^2₌12²-（x+1）²，
整理得x²+x-72=0，
解得x₁=-9（舍），x₂=8，
∴AB=FC=8．
∵∠ABF=∠DBC，∠BAF=∠BCD，
∴△BAF∽△BCD，
∴(BA)/(BC)=(AF)/(CD)，
∴(8)/(12)=(2)/(CD)，
∴CD=3．