如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC=16，PA=PC=10．（1）设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE；（2）在△ABO内是否存在一点M，使FM⊥

Question

如图，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC=16，PA=PC=10．

（1）设G是OC的中点，证明：FG∥平面BOE；
（2）在△ABO内是否存在一点M，使FM⊥平面BOE，若存在，请找出点M，并求FM的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）取PE中点H，连接FH、GH，
∵F，H分别为PB，PE中点，∴△PBE中，FH∥BE，
∵FH⊄平面BEO，BE⊂平面BEO，∴FH∥平面BEO
同理，可得HG∥平面BEO
∵FH∩HG=H，FH、HG⊂平面FGH
∴平面BEO∥平面FGH，
∵FG⊂平面FGH，∴FG∥平面BEO．   …（5分）
（2）∵△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，且O为AC中点，∴BO⊥AC，
又∵平面PAC⊥平面ABC，BO⊂平面ABC，平面ABC∩平面APC=AC，
∴BO⊥平面APC．结合PQ⊂平面APC，得BO⊥PQ
过P在平面APC内作PQ⊥EO，交AO于Q，连接BQ，取BQ中点M，连接FM，
∵BO∩EO=O，BO、EO⊂平面BEO，∴PQ⊥平面BEO，
∵△PBQ中，点F、M分别为PB、QB的中点，
∴FM∥PQ，且FM=(1)/(2)PQ
结合PQ⊥平面BEO，得FM⊥平面BOE，即BQ中点M即为所求．
Rt△PCQ中，cos∠PCQ=(162+102-102)/(2×16×10)=(4)/(5)，得CQ=(5)/(4)PC=(25)/(2)
∴PQ=√(CQ2-PQ2)=(15)/(2)，可得FM=(1)/(2)PQ=(15)/(4)
因此，在平面ABC内，存在△ABO的中线BQ上的点M，满足M为BQ的中点时，FM⊥平面BOE，此时FM=(15)/(4)…（12分）