已知函数f（x）=2x2-3x，x≤0ex+e2，x>0若不等式f（x）≥kx，对x∈R恒成立，则实数k的取值范

Question

已知函数f（x）=

2x2-3x，x≤0

ex+e2，x>0

若不等式f（x）≥kx，对x∈R恒成立，则实数k的取值范围是___．

Answer 1

当x=0时，不等式f（x）≥kx等价为0≥0成立，
当x<0时，由f（x）≥kx得2x²-3x≥kx，即2x-3≤k，
当x<0，2x-3<-3，则k≥-3；
当x>0时，由f（x）≥kx得e^x+e²≥kx，(ex+e2)/(x)≥k，
设h（x）=(ex+e2)/(x)，当x>0时，h′（x）=(xex-ex-e2)/(x2)，
设g（x）=xe^x-e^x-e²，则g′（x）=xe^x，
当x>0时，g′（x）>0，即函数g（x）为增函数，
∵g（2）=2e²-e²-e²=0，
∴当x>2时，g（x）>0，h′（x）>0，函数h（x）为增函数，
当0<x<2时，g（x）<0，h′（x）<0，函数h（x）为减函数，
即当x=2时，函数h（x）取得极小值，同时也是最小值h（2）=(e2+e2)/(2)=e²，
此时k≤e²，
综上-3≤k≤e²，
故答案为：-3≤k≤e²．