求下列幂函数的和函数n从1到正无穷1∑（n+1）（n+2）X^n2∑（X^n)/(n(n+1))

Question

求下列幂函数的和函数
n从1到正无穷
1 ∑（n+1）（n+2）X^n
2 ∑（X^n)/(n(n+1))

Answer 1

首先为使幂函数收敛,利用比值判别法,x∈(-1,1)
观察后发现
对1式积分两次后
f(x)=∑（n+1）（n+2）X^n
∫∫ f(x)dx dx=∑∫∫（n+1）（n+2）X^n dx dx
=∑∫（n+2）X^(n+1) dx
=∑X^(n+2)
无穷项等比数列求和,首项为x^3,等比为x
=x^3/(1-x)
然后求两次导
f(x)=6*x/(1-x)+6*x^2/(1-x)^2+2*x^3/(1-x)^3
2.先乘x
g(x)=∑（X^n)/(n(n+1))
h(x)=xg(x)=∑（X^(n+1))/(n(n+1))
然后对h（x）求导两次
h'(x)=∑X^(n)/n
h''(x)=∑X^(n-1)
首项为1,公比为x
h''(x)=1/(1-x)
积分两次
h(x)=[ln(1-x)]*(1-x)-1+x
g(x)=h(x)/x=[ln(1-x)]*[(1-x)/x]-1/x+1