如图，长方形ABCD中，AB=4cm，BC=6cm，现有一动点P从A出发以2cm/秒的速度，沿矩形的边A-B-C运动，设点P运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，点P与点A的距离为5cm？（2）当t为何值时，△APD是等

Question

如图，长方形ABCD中，AB=4cm，BC=6cm，现有一动点P从A出发以2cm/秒的速度，沿矩形的边A-B-C运动，设点P运动的时间为t秒．

（1）当t为何值时，点P与点A的距离为5cm？
（2）当t为何值时，△APD是等腰三角形？
（3）当t为何值时，（2<t<5），以线段AD、CP、AP的长度为三边长的三角形是直角三角形，且AP是斜边？

Answer 1

（1）如图1，若点P在BC上，
∵在Rt△ABP中，AP=5，AB=4
∴BP=2t-4=3，
∴t=(7)/(2)；
如图2，若点P在DC上，
则在Rt△ADP中，AP是斜边，
∵AD=6，
∴AP>6，
∴AP≠5．
综上所述，当t=(7)/(2)秒时，点P与点A的距离为5cm；

（2）当AD=DP时，如图3，PC=（10-2t）cm，CD=4cm，DP=6cm，
∵CD²+PC²=DP²，即4²+（10-2t）²=6²，解得t=5±√(5)，即t₁=5+√(5)，t₂=5-√(5)；
当DP=AP时，如图4，PC=PB=3cm，
∵AB=4cm，
∴AB+BP=4+3=7cm，
∴t=(7)/(2)（秒）；
当AD=AP=6时，PB=2t-4，
∵AB²+BP²=AP²，即4²+（2t-4）²=6²，解得t=2+√(5)或t=2-√(5)（舍去），
综上所述，当t=（5±√(5)）秒或t=(7)/(2)秒时，△APD是等腰三角形；

（3）当2<t<5时，点P在BC边上，
∵BP=2t-4，CP=10-2t，
∴AP²=AB²+BP²=4²+（2t-4）²
由题意，有AD²+CP²=AP²
∴6²+（10-2t）²=4²+（2t-4）²
∴t=(13)/(3)<5，
∴t=(13)/(3)．
答：当t=(13)/(3)秒时，以线段AD、CP、AP的长度为三边长的三角形是直角三角形，且AP是斜边．