P为△ABC平面内一点,向量AB的模*向量PC+向量BC的模*向量PA+向量CA的模*向量PB=向量0.证明P是△ABC的内心

Question

P为△ABC平面内一点,向量AB的模*向量PC+向量BC的模*向量PA+向量CA的模*向量PB=向量0.证明P是△ABC的内心

Answer 1

向量AB的模*向量PC+向量BC的模*向量PA+向量CA的模*向量PB=向量0.
设向量AB的模=c,向量BC的模=a,向量CA的模=b,
所以aPA向量+bPB向量+cPC向量=0向量,
延长CP交AB于D,根据向量加法得：
PA=PD+DA,PB=PD+DB,代入已知得：
a(PD+DA)+b(PD+DB) +cPC=0,
因为PD与PC共线,所以可设PD=kPC,
上式可化为(ka+kb+c) PC+( aDA+bDB)=0向量,
向量DA与DB共线,向量PC与向量DA、DB不共线,
所以只能有：ka+kb+c=0,aDA+bDB=0向量,
由aDA+bDB=0向量可知：DA与DB的长度之比为b/a,
所以CD为∠ACB的平分线,同理可证其它的两条也是角平分线.
∴P是△ABC的内心.