一道直线与圆锥曲线关系O为坐标原点,M(1,-3),N(5,1),C满足OC=tOM+(1-t)ON(向量),C的轨迹与抛物线y^2=4x交于A,B1)求证:OA垂直OB2)X轴上是否存在P(m,0),使得过点P任作抛物线的一条弦,并以该弦为直径的圆都

Answer 1

1]设C(x,y)则向量
OC=(x,y),OM=(1,-3),ON=(5,1)
因为OC=tOM+(1-t)ON
所以有y=x-4为C的轨迹
设A(x1,y1),B(x2,y2)(由图象知必有y1与y2异号),则
(y1y2)/(x1x2)=-4*sqrt(x1x2)/(x1x2)=-4/sqrt(x1x2)
联立抛物线方程与直线方程得：
x^2-12x+16=0=>x1x2=16
所以(y1y2)/(x1x2)=-1
所以得证
2]（是不是指都经过原点?）
设直线与抛物线的两交点为P(x1,y1),Q(x2,y2)
由题可设直线方程为：x=ky+m代入抛物线方程得：
y^2-4ky-4m=0=>y1y2=-4m
若存在这样的圆过原点,则OP与OQ必垂直
则有-1=(y1y2)/(x1x2)=16/(y1y2)=16/(-4m)=>m=4
对于圆心D(x,y)有
y=(y1+y2)/2=2k
x=(x1+x2)/2=(ky1+m+ky2+m)/2=2k^2+4>=4
所以圆心的轨迹方程为：y^2=2x-8 (x>=4)