已知函数f(x)=log21+x1-x，（x∈（-1，1）．（1）判断f（x）的奇偶性，并证明；（2）判断f（x）在（-1，1）上的单调性，并证明．

Question

已知函数f(x)=log2(1+x)/(1-x)，（x∈（-1，1）．
（1）判断f（x）的奇偶性，并证明；
（2）判断f（x）在（-1，1）上的单调性，并证明．

Answer 1

（1）f(-x)=log2(1+(-x))/(1-(-x))=log2(1-x)/(1+x)=log2((1+x)/(1-x))-1=-log2(1+x)/(1-x)=-f(x)
又x∈（-1，1），所以函数f（x）是奇函数
（2）设-1<x<1，△x=x₂-x₁>0，△y=f(x2)-f(x1)=log2(1+x2)/(1-x2)-log2(1+x1)/(1-x1)=log2((1-x1)(1+x2))/((1+x1)(1-x2))
因为1-x₁>1-x₂>0；1+x₂>1+x₁>0所以((1-x1)(1+x2))/((1+x1)(1-x2))>1
所以△y=log2((1-x1)(1+x2))/((1+x1)(1-x2))>0所以函数f(x)=log2(1+x)/(1-x)在（-1，1）上是增函数．