线性代数老师求指教设n维向量α1,α2线性无关,α3,α4线性无关.若α1,α2都分别与α3,α4正交,证明:α1,α2,α3,α4线性无关.

Question

线性代数 老师求指教
设n维向量α1,α2线性无关,α3,α4线性无关.若α1,α2都分别与α3,α4正交,证明:α1,α2,α3,α4线性无关.

Answer 1

设x1α1+x2α2+y1α3+y2α4=0.
方程两边与α1作内积,得 (x1α1+x2α2,α1)+y1(α3,α1)+y2(α4,α1)=0.
α1与α3,α4正交,所以(α3,α1)=0,(α4,α1)=0.
所以,(x1α1+x2α2,α1)=0.
同理,方程两边与α2作内积,得(x1α1+x2α2,α2)=0.
所以,(x1α1+x2α2,x1α1+x2α2)=x1(x1α1+x2α2,α1)+x2(x1α1+x2α2,α2)=0,所以x1α1+x2α2=0.又α1,α2线性无关,所以x1=x2=0.
所以,y1α3+y2α4=0.又α3,α4线性无关,所以y1=y2=0.
所以,向量组α1,α2,α3,α4线性无关.