设α1,α2,β1,β2均为3维向量,且α1,α2相性无关,β1,β2线性无关,存在非零向量γ,使得γ即可由α1,α2线性表出,也可由β1,β2线性表出.当α1=102,α2=[2-13]β1=[-32-5],β2=[011]时求所有的向量γ答

Question

设α1,α2,β1,β2均为3维向量,且α1,α2相性无关,β1,β2线性无关,存在非零向量γ,使得γ即可由α1,α2线性表出,也可由β1,β2线性表出.
当α1=【1 0 2】,α2=[2 -1 3] β1=[-3 2 -5],β2=[0 1 1] 时求所有的向量γ
答案是γ=k【0,1,1】^T 怎么得出的呢?

Answer 1

证明:因为4个3维向量构成的向量组α1,α2,β1,β2线性相关
所以存在不全为0的数 k1,k2,k3,k4 满足
k1α1+k2α2+k3β1+k4β2=0
令 k1α1+k2α2=-k3β1-k4β2=γ.
则 γ≠0 (否则由已知得 k1,k2,k3,k4全为0.)
所以存在非零向量γ可由两个向量组线性表示.
(α1,α2,β1,β2) =
1 2 -3 0
0 -1 2 1
2 3 -5 1
r3-2r1
1 2 -3 0
0 -1 2 1
0 -1 1 1
r1+2r2,r3-r2,r2*(-1)
1 0 1 2
0 1 -2 -1
0 0 -1 0
r1+r3,r2-2r3,r3*(-1)
1 0 0 2
0 1 0 -1
0 0 1 0
所以 γ = 2cα1-cα2 = 0β1+cβ2,c为任意常数.