设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．（Ⅰ）证明：sinB=cosA；（Ⅱ）若sinC-sinAcosB=34，且B为钝角，求A，B，C．

Question

设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．
（Ⅰ）证明：sinB=cosA；
（Ⅱ）若sinC-sinAcosB=(3)/(4)，且B为钝角，求A，B，C．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵a=btanA．
∴(a)/(b)=tanA，
∵由正弦定理：(a)/(b)=(sinA)/(sinB)，又tanA=(sinA)/(cosA)，
∴(sinA)/(sinB)=(sinA)/(cosA)，
∵sinA≠0，
∴sinB=cosA．得证．
（Ⅱ）∵sinC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，
∴sinC-sinAcosB=cosAsinB=(3)/(4)，由（1）sinB=cosA，
∴sin²B=(3)/(4)，
∵0<B<π，
∴sinB=(√(3))/(2)，
∵B为钝角，
∴B=(2π)/(3)，
又∵cosA=sinB=(√(3))/(2)，
∴A=(π)/(6)，
∴C=π-A-B=(π)/(6)，
综上，A=C=(π)/(6)，B=(2π)/(3)．