1x2x3+2x3x4+3x4x5+.+n(n+1)(n+2)=?求此类型算数题公式!

Question

1x2x3+2x3x4+3x4x5+.+n(n+1)(n+2)=?求此类型算数题公式!

Answer 1

首先你需要知道3个求和公式：
1+2+3+...+n=n(n+1)/2
1²+2²+3²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6
1³+2³+3³+...+n³=[n(n+1)/2]²
再来看你的这一道题,可以利用上面的3个公式推导出本题的求和公式.
n(n+1)(n+2)=n³+3n²+2n
1×2×3+2×3×4+3×4×5+...+n(n+1)(n+2)
=(1³+2³+3³+...+n³)+3(1²+2²+3²+...+n²)+2(1+2+...+n)
=[n(n+1)/2]²+n(n+1)(2n+1)/2+n(n+1)
=n(n+1)[n(n+1)/4+(2n+1)/2+1]
=n(n+1)[n(n+1)+2(2n+1)+4]/4
=n(n+1)(n²+5n+6)/4
=n(n+1)(n+2)(n+3)/4
本题的求和公式为：
1×2×3+2×3×4+3×4×5+...+n(n+1)(n+2)=n(n+1)(n+2)(n+3)/4