函数f（x）=lnx，g（x）=x2-x-m，（Ⅰ）若函数F（x）=f（x）-g（x），求函数F（x）的极值．（Ⅱ）若f（x）+g（x）

Question

函数f（x）=lnx，g（x）=x²-x-m，
（Ⅰ）若函数F（x）=f（x）-g（x），求函数F（x）的极值．
（Ⅱ）若f（x）+g（x）2-（x-2）e^x在x∈（0，3）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）F（x）=lnx-x²+x+m，定义域（0，+∞），
F′（x）=(1)/(x)-2x+1=-((2x+1)(x-1))/(x)，
F′（x）=0，可得x=1，

x	（0，1）	1	（1，+∞）
F′（x）	+	0	-
F（x）	递增	极大值	递减

则F（x）的极大值为F（1）=m，没有极小值；
（Ⅱ）f（x）+g（x）2-（x-2）e^x在（0，3）恒成立；
整理为：m>（x-2）e^x+lnx-x在x∈（0，3）恒成立；
设h（x）=（x-2）e^x+lnx-x，则h′（x）=（x-1）（e^x-(1)/(x)），
x>1时，x-1>0，且e^x>e，(1)/(x)<1，即h′（x）>0；            
0设u=e^x-(1)/(x)，u′=e^x+(1)/(x2)>0，u在（0，1）递增，
x→0时，(1)/(x)→+∞，即u<0，x=1时，u=e-1>0，
即∃x₀∈（0，1），使得u₀=ex0-(1)/(x0)=0，∴x∈（0，x₀）时，u<0；x∈（x₀，1）时，u>0，
x∈（0，x₀）时，h′（x）>0；x∈（x₀，1）时，h′（x）<0．
函数h（x）在（0，x₀）递增，（x₀，1）递减，（1，3）递增，
h（x₀）=（x₀-2）ex0+lnx₀-x₀=（x₀-2）•(1)/(x0)-2x₀=1-(2)/(x0)-2x₀，
由x₀∈（0，1），-(2)/(x0)0）=1-(2)/(x0)-2x₀0h（3）=e³+ln3-3>0，
即x∈（0，3）时，h（x）则实数m的取值范围是（e³+ln3-3，+∞）．