已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），若双曲线上存在一点P，使=，求双曲线的离心率的范围．

Question

已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），若双曲线上存在一点P，使=，求双曲线的离心率的范围．

Answer 1

先根据正弦定理得=，又由已知，得，最后根据P在双曲线右友，可得关于e的不等式，进而根据三角函数的范围确定e的范围．
【解析】
根据已知，点P不是双曲线的顶点，否则=无意义．
因为在△PF₁F₂中，由正弦定理得=．
又由已知，得，即|PF₁|=|PF₂|，且P在双曲线的右支上，由双曲线的定义，得
|PF₁|-|PF₂|=2a，则|PF₂|-|PF₁|=2a，即|PF₂|=，由双曲线的几何性质，知
|PF₂|＞c-a，则＞c-a，即c²-2ac-a²＜0，∴e²-2e-1＜0，解得-＜e＜，
又e＞1，故双曲线的离心率的范围是（1，）．