求幂级数∞n＝1n2+1nxn的收敛域及和函数．

Question

求幂级数

∞

n＝1

(n2+1)/(n)xⁿ的收敛域及和函数．

Answer 1

因为an＝(n2+1)/(n)，而

lim

n→∞

(an+1)/(an)＝x，且x=±1时，级数均发散，所以级数的以收敛域为（-1，1），
    求解和函数：
     

∞

n＝1

(n2+1)/(n)xn＝

∞

n＝1

nxn+

∞

n＝1

(1)/(n)xn＝x(

∫

x 0

∞

n＝1

nxn−1dx)′+

∫

x 0

(

∞

n＝1

(1)/(n)xn)′dx
=x((1)/(1−x))′+

∫

x 0

(1)/(1−x)dx=(x)/((1−x)2)−ln(1−x)，x∈（-1，1）