已知函数f（x）=x2-2x+a（ex-1+e-x+1）有唯一零点，则a=（）A.-12B.13C.12D.1

Question

已知函数f（x）=x²-2x+a（e^x-1+e^-x+1）有唯一零点，则a=（　　）

A. -

(1)/(2)

B.

(1)/(3)

C.

(1)/(2)

D. 1

Answer 1

因为f（x）=x²-2x+a（e^x-1+e^-x+1）=-1+（x-1）²+a（e^x-1+(1)/(ex-1)）=0，
所以函数f（x）有唯一零点等价于方程1-（x-1）²=a（e^x-1+(1)/(ex-1)）有唯一解，
等价于函数y=1-（x-1）²的图象与y=a（e^x-1+(1)/(ex-1)）的图象只有一个交点．
①当a=0时，f（x）=x²-2x≥-1，此时有两个零点，矛盾；
②当a<0时，由于y=1-（x-1）²在（-∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，
且y=a（e^x-1+(1)/(ex-1)）在（-∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，
所以函数y=1-（x-1）²的图象的最高点为A（1，1），y=a（e^x-1+(1)/(ex-1)）的图象的最高点为B（1，2a），
由于2a<0<1，此时函数y=1-（x-1）²的图象与y=a（e^x-1+(1)/(ex-1)）的图象有两个交点，矛盾；
③当a>0时，由于y=1-（x-1）²在（-∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，
且y=a（e^x-1+(1)/(ex-1)）在（-∞，1）上递减、在（1，+∞）上递增，
所以函数y=1-（x-1）²的图象的最高点为A（1，1），y=a（e^x-1+(1)/(ex-1)）的图象的最低点为B（1，2a），
由题可知点A与点B重合时满足条件，即2a=1，即a=(1)/(2)，符合条件；
综上所述，a=(1)/(2)，
故选：C．