如图：△ABC是O的内接三角形，∠ACB=45°，∠AOC=150°，过点C作O的切线交AB的延长线于点D．（1）求证：CD=CB；（2）如果O的半径为2，求AC的长．

Question

如图：△ABC是 O的内接三角形，∠ACB=45°，∠AOC=150°，过点C作 O的切线交AB的延长线于点D．

（1）求证：CD=CB；
（2）如果 O的半径为√(2)，求AC的长．

Answer 1

（1）证明：连接OB，则∠AOB=2∠ACB=2×45°=90°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=OBA=45°，
∵∠AOC=150°，OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC=15°，
∴∠OCB=∠OCA+∠ACB=60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC=∠OBC=60°，
∴∠CBD=180°-∠OBA-∠OBC=75°，
∵CD是 O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠D=360°-∠OBD-∠BOC-∠OCD=360°-（60°+75°）-60°-90°=75°，
∴∠CBD=∠D，
∴CB=CD；

（2）在Rt△AOB中，AB=√(2)OA=√(2)×√(2)=2，
∵CD是 O的切线，
∴∠DCB=∠CAD，
∵∠D是公共角，
∴△DBC∽△DCA，
∴(CD)/(AD)=(BD)/(CD)，
∴CD²=AD•BD=BD•（BD+AB），
∵CD=BC=OC=√(2)，
∴2=BD•（2+BD），
解得：BD=√(3)-1，
∴AC=AD=AB+BD=√(3)+1．