如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知直径AD=6，∠ABC=120°，∠ACB=45°，连接OB交AC于点E．（1）求AC的长．（2）求CE：EA的值．（3）在CB的延长线上取一点P，使CB=12BP，求证：直线PA与⊙O相切．

Question

如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知直径AD=6，∠ABC=120°，∠ACB=45°，连接OB交AC于点E．

（1）求AC的长．
（2）求CE：EA的值．
（3）在CB的延长线上取一点P，使CB=(1)/(2)BP，求证：直线PA与⊙O相切．

Answer 1

（1）∵∠ABC=120°，∴∠D=60°．
∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°．
∵AD=6，∴AC=AD•sin60°=6×(√(3))/(2)=3√(3)．
（2）∵∠ACB=45°，∴∠AOB=2∠ACB=90°．
∴EA=(OA)/(cos30°)=2√(3)．∴CE=AC-AE=√(3)．
∴CE：EA=√(3)：2√(3)=1：2．
（3）证明：∵(CB)/(BP)=(1)/(2)，(CE)/(EA)=(1)/(2)，
∴(CB)/(BP)=(CE)/(EA)．
∴BE∥AP．
∵∠AOB=90°，
∴PA⊥OA．
∴直线PA与⊙O相切．