如图，O的半径为1，A，P，B，C是O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．（1）判断△ABC的形状：；（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；（3）当点P位于

Question

如图， O的半径为1，A，P，B，C是 O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．
（1）判断△ABC的形状：___；
（2）试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）当点P位于

AB

的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积．

Answer 1

证明：（1）△ABC是等边三角形．
证明如下：在 O中
∵∠BAC与∠CPB是

BC

所对的圆周角，∠ABC与∠APC是

AC

所对的圆周角，
∴∠BAC=∠CPB，∠ABC=∠APC，
又∵∠APC=∠CPB=60°，
∴∠ABC=∠BAC=60°，
∴△ABC为等边三角形；
（2）在PC上截取PD=AP，如图1，
又∵∠APC=60°，
∴△APD是等边三角形，
∴AD=AP=PD，∠ADP=60°，即∠ADC=120°．
又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°，
∴∠ADC=∠APB，
在△APB和△ADC中，

∠APB=∠ADC

∠ABP=∠ACD

AP=AD

，
∴△APB≌△ADC（AAS），
∴BP=CD，
又∵PD=AP，
∴CP=BP+AP；
（3）当点P为

AB

的中点时，四边形APBC的面积最大．
理由如下，如图2，过点P作PE⊥AB，垂足为E．
过点C作CF⊥AB，垂足为F．
∵S_△APB=(1)/(2)AB•PE，S_△ABC=(1)/(2)AB•CF，
∴S_{四边形APBC}=(1)/(2)AB•（PE+CF），
当点P为

AB

的中点时，PE+CF=PC，PC为 O的直径，
∴此时四边形APBC的面积最大．
又∵ O的半径为1，
∴其内接正三角形的边长AB=√(3)，
∴S_{四边形APBC}=(1)/(2)×2×√(3)=√(3)．