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如图,O的半径为1,A,P,B,C是O上的四个点,∠APC=∠CPB=60°.(1)判断△ABC的形状:;(2)试探究线段PA,PB,PC之间的数量关系,并证明你的结论;(3)当点P位于
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如图, O的半径为1,A,P,B,C是 O上的四个点,∠APC=∠CPB=60°.
(1)判断△ABC的形状:___;
(2)试探究线段PA,PB,PC之间的数量关系,并证明你的结论;
(3)当点P位于
的什么位置时,四边形APBC的面积最大?求出最大面积.

(1)判断△ABC的形状:___;
(2)试探究线段PA,PB,PC之间的数量关系,并证明你的结论;
(3)当点P位于
![]() |
AB |

▼优质解答
答案和解析
证明:(1)△ABC是等边三角形.
证明如下:在 O中
∵∠BAC与∠CPB是
所对的圆周角,∠ABC与∠APC是
所对的圆周角,
∴∠BAC=∠CPB,∠ABC=∠APC,
又∵∠APC=∠CPB=60°,
∴∠ABC=∠BAC=60°,
∴△ABC为等边三角形;
(2)在PC上截取PD=AP,如图1,
又∵∠APC=60°,
∴△APD是等边三角形,
∴AD=AP=PD,∠ADP=60°,即∠ADC=120°.
又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°,
∴∠ADC=∠APB,
在△APB和△ADC中,
,
∴△APB≌△ADC(AAS),
∴BP=CD,
又∵PD=AP,
∴CP=BP+AP;
(3)当点P为
的中点时,四边形APBC的面积最大.
理由如下,如图2,过点P作PE⊥AB,垂足为E.
过点C作CF⊥AB,垂足为F.
∵S△APB=
AB•PE,S△ABC=
AB•CF,
∴S四边形APBC=
AB•(PE+CF),
当点P为
的中点时,PE+CF=PC,PC为 O的直径,
∴此时四边形APBC的面积最大.
又∵ O的半径为1,
∴其内接正三角形的边长AB=
,
∴S四边形APBC=
×2×
=
.
证明如下:在 O中
∵∠BAC与∠CPB是
![]() |
BC |
![]() |
AC |
∴∠BAC=∠CPB,∠ABC=∠APC,
又∵∠APC=∠CPB=60°,
∴∠ABC=∠BAC=60°,
∴△ABC为等边三角形;
(2)在PC上截取PD=AP,如图1,

又∵∠APC=60°,
∴△APD是等边三角形,
∴AD=AP=PD,∠ADP=60°,即∠ADC=120°.
又∵∠APB=∠APC+∠BPC=120°,
∴∠ADC=∠APB,
在△APB和△ADC中,
|
∴△APB≌△ADC(AAS),
∴BP=CD,
又∵PD=AP,
∴CP=BP+AP;
(3)当点P为
![]() |
AB |

理由如下,如图2,过点P作PE⊥AB,垂足为E.
过点C作CF⊥AB,垂足为F.
∵S△APB=
1 |
2 |
1 |
2 |
∴S四边形APBC=
1 |
2 |
当点P为
![]() |
AB |
∴此时四边形APBC的面积最大.
又∵ O的半径为1,
∴其内接正三角形的边长AB=
3 |
∴S四边形APBC=
1 |
2 |
3 |
3 |
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