已知数列{an}的前n项和为Sn,且曲线y=x^2-nx+1(n∈N)在x=an处的切线的斜率恰好为Sn1求数列{an}通项公式2已知数列{an}的前n项和为Sn,且曲线y=x^2-nx+1(n∈N)在x=an处的切线的斜率恰好为Sn1求数列{an}通项

Question

已知数列{an}的前n项和为Sn,且曲线y=x^2-nx+1(n∈N)在x=an处的切线的斜率恰好为Sn 1求数列{an}通项公式 2
已知数列{an}的前n项和为Sn,且曲线y=x^2-nx+1(n∈N)在x=an处的切线的斜率恰好为Sn
1求数列{an}通项公式
2求{nan}的前n项和为Tn
3求证：1/a1+1/a2+1/a3+……+1/an＜5/3

Answer 1

(1)
y=x^2-nx+1
y'=2x-n
y'(an)=2*an-n=Sn
a1=S1=2*a1-1
a1=1
Sn=2*an-n
S(n-1)=2*a(n-1)-n+1
an-2*a(n-1)-1=0
an+1=2*(a(n-1)+1)
a1+1=2
an=2^n-1
(2)
n*an=n*2^n-n
Tn=n*2^(n+1)-(2^1+2^2+…+2^n)-n(n+1)/2=n*2^(n+1)-2^(n+1)+2-n(n+1)/2
(3)
1/a1+1/a2+1/a3+……+1/an=1/(2^1-1)+1/(2^2-1)+…+1/(2^n-1)