已知数列an中,an>0,且对于任意正整数n有sn=1/2(an+1/an),求通项公式an及sn

Question

已知数列an中,an >0 ,且对于任意正整数n有sn=1/2(an+1/an),求通项公式an及sn

Answer 1

令n=1,带入关系式易得a1=1；又令n=2,带入关系式求得a2=√2-1；再令n=3,带入关系式求得a3=√3-√2.
观察可以发现规律,所以此题最简单的方法是假设归纳法!
我们假设ak=√k-√(k-1).
当n=1时显然成立；
假设当n=k时成立,便有ak=√k-√(k-1),Sk=∑ai=√k.
那么,当n=k+1时,S(k+1)=Sk+a(k+1).因为对任意的正整数n有Sn=1/2*(an+1/an),所以S(k+1)=1/2*[a(k+1)+1/a(k+1)].又已得Sk=√k,所以带入S(k+1)=Sk+a(k+1)中有：
a(k+1)=S(k+1)-Sk=1/2*[a(k+1)+1/a(k+1)]-√k
化简得：
[a(k+1)]^2+2√ka(k+1)-1=0
因为an＞0,所以求得a(k+1)=√(k+1)-√k,即n=k+1亦成立!
所以,综合上述得：an=√n-√(n-1) (n∈N+),Sn=∑ai=√n.