已知函数f(x)的定义域D=(-∞,0)∪(0,+∞),且对于任意x1,x2∈D已知函数f(x)的定义域D=(-∞,0)∪(0,∞),且对于任意x₁,x₂∈D,均有f(x₁×x₂)=f(x₁)+f(x₂),且当x＞1时,f(x)＞0.已知函数

Question

已知函数f(x)的定义域D=(-∞,0)∪(0,+∞),且对于任意x1,x2∈D
已知函数f(x)的定义域D=(-∞,0)∪(0,∞),且对于任意x₁,x₂∈D,均有f(x₁×x₂)=f(x₁)+f(x₂),且当x＞1时,f(x)＞0. 已知函数为偶函数,求证f(x)在﹙0,+∞﹚上是增函数

Answer 1

证明：因为f(x₁×x₂)=f(x₁)+f(x₂),令x₁=x₂=1,则代入方程得f(1)=2f(1),所以f(1)=0；
再令x₂=1/x₁,则代入方程得f(1)=f(x₁)+f(1/x₁),所以f(x₁)=-f(1/x₁).
设x₂>x₁>0,f(x₂)-f(x₁)=f(x₂)+f(1/x₁)=f(x₂/x₁),
又因为x₂/x₁>1,所以f(x₂/x₁)>0,即f(x₂)-f(x₁)>0.
则f(x)在﹙0,+∞﹚上是增函数.