已知，当点M(x，y)在y=f(x)的图象上运动时，点N(x，ny)在函数的图象上运动(n∈N)．(1)求的解析式；(2)求集合A={a|关于x的方程有实根，a∈R}；(3)设，函数，(0<a≤x≤b)的值域为，求证：，b=2．

Question

已知，当点M(x，y)在y=f(x)的图象上运动时，点N(x，ny)在函数的图象上运动(n∈N)．
(1)求的解析式；
(2)求集合A={a|关于x的方程有实根，a∈R}；
(3)设，函数，(0<a≤x≤b)的值域为，
求证：，b=2．____

Answer 1

【分析】(1)由于，点N(x，ny)又在函数(x)的图象上运动(n∈N)．所以，直接代入即可；
(2)关于x的方程有实根，即有实根，实质是求函数的值域；
(3)函数，(0<a≤x≤b)的值域为，故此，本问题只需判断出函数F(x)在[a，b]上的单调性即可求解a，b.

(1)由条件知，又
∴解析式．
(2)∵方程，即，
∴求集合A就是求方程有实根时a的范围．
而，
∴时原方程总有实根，
∴集合．
(3)∵
∴，(0<a≤x≤b)，
又，
∴F(x)在[a，b]上递减，
∴，即①，
由与y=log₂x的图象只有唯一交点知：方程只有唯一解，
经检验是方程组①的唯一解，故得证．

【点评】待定系数法是求函数解析式的一种常见方法，例如问题(1)；转化思想是数学中的重要思想之一，问题的转化往往可以收到意想不到的效果，如问题(2)；问题(3)再次展现了求解函数最值时导数的工具性作用．