像2^n=n^8这样的式子该怎么求解n

Question

像2^n = n^8这样的式子该怎么求解n

Answer 1

2^x=x^8
两边取以2为底的对数,得
x=log(2)x^8=8log(2)x
方程的解可以认为是是y=x和y=8log(2)x两条曲线的交点的横坐标,那麼设函数f(x)=8log(2)x-x,f(x)和x轴的交点就是所求的解.
f'(x)=8/ln2*1/x-1,令f'(x)=0解得x=8/ln2,f'(x)8/ln2,f'(x)>0解得00,所以f''(x)恒为负
计算可知f(1)=-1,f(2)=1,而f'(1)=8/ln2-1,过点(1,-1)的切线方程为y+1=(8/ln2-1)*(x-1),令y=0解得x1
过点(x1,f(x1))的切线方程为y-f(x1)=f'(x1)(x-x1),令y=0解得x2.
过(x2,f(x2))的切线为y-f(x2)=f'(x2)(x-x2),令y=0解得x3
重复以上步骤,直到误差小於一定范围即可.
因为x轴和图像交点有两个,另一边也是按照同样的做法,计算得f(43)>0,f(44)